Podręcznik ten przedstawia obszerne wprowadzenie do metody elementów skończonych, z uwzględnieniem metod analizy izogeometrycznej.
Rozdziały uzupełnione są o przykładowe kody MATLABa (możliwe do uruchomienia w darmowej wersji Octave). Autorem tekstu jest prof. dr hab. Maciej Paszyński.

Autorami kodów MATLABa są dr inż. Marcin Łoś oraz dr inż. Maciej Woźniak z Katedry Informatyki z mojego zespołu Algorytmów i Systemów Adaptacyjnych.
Chciałbym bardzo podziękować Panom Maćkowi i Marcinowi za zaawansowane implementacje w MATLABie.

Chciałbym również bardzo podziękować mojej żonie, dr hab. Annie Paszyńskiej z Uniwersytetu Jagiellońskiego za pomoc w przygotowaniu wielu rysunków do podręcznika.
Chciałbym bardzo serdecznie podziękować recenzentom, prof. Maciejowi Pietrzykowi i prof. Krzysztofowi Banasiowi za bardzo wnikliwe przeczytanie książki i szczegółowe recenzje, których uwzględnienie znacznie podniosło poziom podręcznika.

Podręcznik mój adresowany jest dla studentów studiów technicznych i informatycznych i z tego względu koncentruje się na aspektach praktycznych i implementacyjnych poszczególnych zagadnień związanych z metodą elementów skończonych. Podręcznik mój natomiast nie porusza zagadnień matematycznej teorii zbieżności metody elementów skończonych. Czytelników których interesują matematyczne podstawy metody elementów skończonych zachęcam do przeczytania rozdziału "Matematyczne sformułowanie metody elementów skończonych". Czytelników bardziej zainteresowanych aspektami implementacji i ogólnym wprowadzeniem do metody elementów skończonych zachęcam do pominięcia tego rozdziału przy pierwszym czytaniu i rozpoczęcia lektury od rozdziału "Przykładowy problem dwuwymiarowej projekcji bitmapy".

Podręcznik ten opisuję zarówno klasyczną metodę elementów skończonych oraz izogeometryczną metodę elementów skończonych. Pierwsze prace naukowe na temat metody elementów skończonych pochodzą z roku 1940 od Richarda Couranta (profesor matematyki, urodzony w Lublińcu w Polsce w roku 1888 na ówczesnym terytorium niemieckim, wyemigrował do USA) i Alexandra Hrennikoffa (profesor inżynierii lądowej, urodzony w Rosji, wyemigrował do Kanady), oraz Feng Kanga w Chinach w roku 1950 [1][2][3]. Metoda ta nabrała impetu w latach 1960-1970 dzięki pracy Olgierda Ziemkiewicza (profesor inżynierii lądowej, żyjącą w Wielkiej Brytanii, o Polskich korzeniach) [4]. W ostatnich latach rosnącą popularnością cieszy się izogeometryczna metoda elementów skończonych, propagowana przez zespół prof. T. J. R. Hughes'a, stosująca funkcje bazowe z rodziny B-spline, cechujące się ciągłością wyższego stopnia \( C^k \) [5]. Równolegle do metod analizy izogeometrycznej rozwijane są metody adaptacyjne, korzystające z klasycznej metody elementów skończonych, stosujące hierarchiczne funkcje bazowe. Algorytmy \( hp \) adaptacyjne pozwalające na eksponencjalną zbieżność dokładności rozwiązania względem rozmiaru siatki obliczeniowej, rozwijane są przez grupę prof. Leszka Demkowicza (polski matematyk i profesor mechaniki, pracujący na Uniwersytecie Teksańskim w Austin) [6][7]. Obserwuje się również próby łączenia metod adaptacyjnych z analizą izogeometryczną, poprzez tworzenie nowych rodzin wielomianów, możliwych do definiowania na siatkach adaptacyjnych, umożliwiających mieszanie wielomianów z rodziny B-spline różnego stopnia [8].

Klasyczna metoda elementów skończonych na siatkach regularnych jest szczególnym przypadkiem izogeometrycznej metody elementów skończonych.
Jedyna różnica, polega na tym, iż funkcje bazowe używane w klasycznej metodzie elementów skończonych są wielomianami stopnia p o ciągłości \( C^{p-1} \) we wnętrzu elementów, natomiast na granicy elementów skończonych są one klasy \( C^0 \). Izogeometryczna metoda elementów skończonych uogólnia funkcje bazowe na wielomiany stopnia p które mogą być klasy \( C^k \) na całym obszarze obliczeniowym. Mogą one być również klasy \( C^{p-1} \) tylko we wnętrzach elementów oraz klasy \( C^0 \) na granicy elementów. W szczególności funkcje B-spline używane w izogeometrycznej metodzie elementów skończonych definiowane są przez tzw. wektory węzłów. Poprzez powtórzenie węzłów na granicy elementów uzyskuje się funkcje B-spline równoważne klasycznym wielomianom Lagrange'a.

Izogeometryczna metoda elementów skończonych stosowana jest zazwyczaj na siatkach będących obrazem regularnych (kwadratowych lub sześciennych) grup elementów, natomiast klasyczna metoda elementów skończonych może używać elementów kwadratowych lub trójkątnych w 2D, oraz sześciennych, czworościennych, pryzm i piramid w 3D. Istnieją natomiast nowoczesne metody definiowania funkcji B-spline na elementach trójkątnych i czworościennych, i wówczas ta równoważność (fakt iż izogeometryczna metoda elementów skończonych zwiększa ciągłość funkcji bazowych) jest zachowana.

Klasyczna metoda elementów skończonych aproksymuje pola skalarne i wektorowe występujące w obliczeniach inżynierskich w sposób kawałkami ciągły, a izogeometryczna metoda elementów skończonych w sposób globalnie ciągły. Istnieją oczywiście problemy obliczeniowe, dla których metoda izogeometryczna daje lepsze przybliżenie, oraz problemy obliczeniowe, dla których klasyczna metoda elementów skończonych daje lepsze przybliżenia.

Jakie elementy w moim przekonaniu powinien zawierać podręcznik o klasycznej metodzie elementów skończonych?

1. Wprowadzenie definicji elementu skończonego i klasycznych funkcji bazowych, takich jak wielomiany Lagrange'a oraz hierarchiczne wielomiany stosowane na przykład w adaptacyjnej metodzie elementów skończonych. Definicje te powinny obejmować przynajmniej elementy prostokątne i trójkątne w dwóch wymiarach.
2. Wprowadzenie algorytmów generacji siatek obliczeniowych, w szczególności zbudowanych z trójkątów i czworościanów, oraz algorytmów adaptacji siatek obliczeniowych
3. Przedstawienie szeregu przykładowych problemów prostych w formie silnej i w formie słabej
4. Przedstawienie algorytmów generacji układów równań, macierzy lewej strony (w przypadku niektórych problemów nazywanej macierzą sztywności) i wektora prawej strony
5. Przedstawienie algorytmów solwerów stosowanych do rozwiązywania układów równań
6. Przedstawienie przykładowych problemów obliczeniowych z wynikami
7. Przedstawienie metod stabilizacji dla problemów trudnych obliczeniowo, np. metody Discountinuous Galerkin (DG) lub metody Streamline Upwind Petrov-Galerkin (SUPG)

Ad.1) Definicje formalne klasycznej metody elementów skończonych opisane zostały w modułach rozdziału "Matematyczne sformułowanie metody elementów skończonych".
Książka zawiera również szereg nieformalnych definicji. W szczególności elementy trójkątne opisane zostały w rozdziale "Siatki nieregularne"; wielomiany Lagrange'a na elementach prostokątnych i sześciennych zdefiniowane zostały poprzez powtórzenie węzłów w wektorze węzłów definiujących funkcje bazowe B-spline (pamiętając że wielomiany Lagrange'a zawierają się w funkcjach B-spline) w rozdziale "Dyskretyzacja za pomocą różnych funkcji bazowych"

Ad.2) Algorytmy generacji siatek są obszernie opisane w rozdziale "Przetwarzanie siatek obliczeniowych",

Ad.3) Formy słabe i formy silne nie zależą od sposobu dyskretyzacji. W rozdziale "Sformułowania wariacyjne dla różnych problemów i metod" podanych jest szereg sformułowań wariacyjnych niezależnych od tego czy używamy metody klasycznej czy izogeometrycznej. Mamy w szczególności równania transportu ciepła, równania konwekcji-dyfuzji, problem Stokesa, oraz równania problemu liniowej sprężystości.
Rozdziały te zawierają również dyskretyzację zazwyczaj wykonaną z pomocą izogeometrycznej metody elementów skończonych, jednakże w części ogólnej dotyczącej sformułowań silnych i wariacyjnych są one niezależne od metody dyskretyzacji.

Ad.4) Zagadnienie generacji układów równań wynikających z dyskretyzacji klasyczną metodą elementów skończonych zostało zilustrowane w rozdziale "Transport ciepła za pomocą tradycyjnej metody elementów skończonych" dla przypadku dwuwymiarowego. Odpowiednie algorytmy dla klasycznej metody elementów skończonych umieszczono w rozdziale "Formalne matematyczne sformułowanie metody elementów skończonych". Umieszczono tam również przykład jednowymiarowej klasycznej metody elementów skończonych.

Ad.5) Algorytmy solwerów opisane są w rozdziale "Solwery układów równań liniowych generowanych podczas obliczeń MES", w modułach "Algorytm eliminacji Gaussa", "Algorytm eliminacji Gaussa z pivotingiem", "Algorytm LU faktoryzacji", "Algorytm solwera frontalnego", "Algorytm solwera wielo-frontalnego", "Algorytm solwera zmienno-kierunkowego", "Preconditioner".

Ad.6) W rozdziale "Sformułowania wariacyjne dla różnych problemów i metod", w module "Transport ciepła za pomocą tradycyjnej metody elementów skończonych" podany jest przykład sformułowania słabego i silnego dla dwuwymiarowego problemu transportu ciepła z wykorzystaniem klasycznej metody elementów skończonych, oraz szereg algorytmów dotyczących generacji układu równań. W rozdziale "Formalne matematyczne sformułowanie metody elementów skończonych" umieszczono przykład jednowymiarowej klasycznej metody elementów skończonych, oraz szereg przydatnych algorytmów.
Ad.7) Metoda stabilizacji DG została opisana w rozdziale "Metody Stabilizacji" w module "Stabilizacja równań Stokesa za za pomocą metody Discontinuous Galerkin (DG)". W module "Stabilizacja równań adwekcji-dyfuzji" opisano metodę Streamline Upwind Petrov-Galerkin (SUPG) która działa zarówno dla klasycznej jak i izogeometrycznej metody metody elementów skończonych

Jakie elementy w moim przekonaniu powinien zawierać podręcznik o izogemetrycznej metodzie elementów skończonych?

1. Wprowadzenie funkcji bazowych B-spline definiowanych na grupie (patchu) elementów. Definicje te powinny obejmować sposób definicji funkcji za pomocą wektora węzłów
2. Wprowadzenie do algorytmów mapowania obiektów geometrycznych przez patche elementów w systemach CAD, mapowania patchów elementów na obiekty geometryczne, oraz algorytmów adaptacji patchów elementów
3. Przedstawienie szeregu przykładowych problemów prostych w formie silnej i w formie słabej
4. Przedstawienie algorytmów generacji układów równań, macierzy lewej strony (w przypadku niektórych problemów nazywanej macierzą sztywności) i wektora prawej strony
5. Przedstawienie algorytmów solwerów stosowanych do rozwiązywania układów równań
6. Przedstawienie przykładowych problemów obliczeniowych z wynikami
7. Przedstawienie metod stabilizacji dla problemów trudnych obliczeniowo, np. metody minimalizacji reziduum, metody SUPG

Ad.1) Ten aspekt został szczegółowo opisany w rozdziale "Dyskretyzacja za pomocą różnych funkcji bazowych", moduły "Liniowe funkcje bazowe", "Funkcje bazowe wyższego stopnia rzędu Ck w 1D", "Ulepszona analiza izogeometryczna w 1D", "Uogólnienie funkcji bazowych poprzez iloczyn tensorowy na 2D", "Uogólnienie funkcji bazowych poprzez iloczyn tensorowy na 3D"

Ad.2) Aspekt obliczeń adaptacyjnych w metodzie izogeometrycznej jest pokrótce opisany w rozdziale "Przetwarzanie siatek obliczeniowych" moduł "Analiza izogeometryczna na siatkach adaptacyjnych". Aspekt mapowania obiektów CAD na grupy elementów został w podręczniku pominięty ze względu na swoją obszerność i przynależność do pokrewnej (ale innej) tematyki związanej z modelowaniem geometrii w systemach informatycznych.

Ad.3) Zagadnienie to zilustrowane zostało w rozdziale "Przykładowy problem dwuwymiarowej projekcji bitmapy" moduły "Aproksymacja za pomocą funkcji bazowych B-spline", "Wyprowadzenie układu równań liniowych", "Wygenerowanie układu równań linowych za pomocą obliczeń analitycznych", "Rozwiązanie układu równań linowych", "Interpretacja rozwiązania".
Ad.4) Algorytmy te zostały opisane w rozdziale "Solwery układów równań liniowych generowanych podczas obliczeń MES", moduły "Algorytm eliminacji Gaussa", "Algorytm eliminacji Gaussa z pivotingiem", "Algorytm LU faktoryzacji", "Algorytm solwera frontalnego", "Algorytm solwera wielo-frontalnego", "Algorytm solwera zmienno-kierunkowego", "Preconditioner". Wszystkie te algorytmy jako takie są niezależne od faktu czy używamy klasycznej czy izogeometrycznej metody elementów skończonych. Dodatkowo moduły "Algorytm solwera iteracyjnego" oraz "Wybór solwera w zależności od rodzaju problemu" dotyczą przypadku izogeometrycznej metody elementów skończonych.

Ad.5) Algorytmy solwerów opisane są w rozdziale "Solwery układów równań liniowych generowanych podczas obliczeń MES", w modułach "Algorytm eliminacji Gaussa", "Algorytm eliminacji Gaussa z pivotingiem", "Algorytm LU faktoryzacji", "Algorytm solwera frontalnego", "Algorytm solwera wielo-frontalnego", "Algorytm solwera zmienno-kierunkowego", "Preconditioner".

Ad.6) W rozdziale "Przykładowy problem dwuwymiarowej projekcji bitmapy" i "Sformułowania wariacyjne dla różnych problemów i metod" znajdują się obszerne przykłady obliczeniowe dla izogeometrycznej metody elementów skończonych.

Ad.7) Metoda stabilizacji izogeometrycznej metody elementów skończonych została opisana w rozdziale "Metody Stabilizacji" w modułach "Stabilizacja równań Stokesa za za pomocą metody minimalizacji reziduum" , oraz "Stabilizacja równań adwekcji-dyfuzji za pomocą metody Streamline Upwind Petrov-Galerkin (SUPG)".

Dodatkowo podręcznik zawiera rozdział opisujący rozszerzenie metody elementów skończonych na problemy niestacjonarne (modelujące stan systemów zmieniający się w czasie) oraz wspomniany wcześniej rozdział wprowadzający do matematycznych podstaw metody elementów skończonych.

Wszelkie uwagi oraz pytania dotyczące treści książki proszę kierować na adres maciej.paszynski o agh.edu.pl.

Marcin Łoś i Maciej Woźniak są autorami kodów w MATLABie w rozdziałach:

• Implementacja w MATLABie problemu projekcji bitmapy,
• Implementacja w MATLABie generacji funkcji bazowych na podstawie wektora węzłów,
• Implementacja w MATLABie problemu transportu ciepła,
• Implementacja w MATLABie problemu adwekcji-dyfuzji metodą Galerkina,
• Implementacja w MATLABie algorytmu solwera zmienno-kierunkowego dla problemu projekcji bitmapy,
• Implementacja w MATLABie problemu adwekcji-dyfuzji ze stabilizacją metodą SUPG,
• Implementacja w MATLABie problemu adwekcji-dyfuzji za stabilizacją metodą minimalizacji reziduum,
• Implementacja w MATLABie adaptacyjnego algorytmu projekcji bitmapy,
• Implementacja w MATLABie schematu alpha dla problemu transportu ciepła.